线性组合，就是把若干个按比例缩放的向量加在一起

vmls-note-5.md 仍指向印刷第 15 页的定义，05-scalar.md 里还留着我逐项核对过的性质。我仍在 BaseHalf 0.7.0 的同一个桌面文件夹里接着读，这一次从印刷第 17 页开始。

这是精读 Boyd 与 Vandenberghe 的《Introduction to Applied Linear Algebra》的第 6 篇。我没有新开画布。线性组合只是给一种我已经能做的求和起了名字，前提是加法和数乘都已经有了。

从线性组合的定义长出来的笔记

在 Card Detail 里，我翻到阅读器第 27 页，也就是印刷第 17 页，选中线性组合的定义，再一次选择 Grow branch，仍然是在阅读器里发起，不是从封面发起。新文件是 vmls-note-6.md。它已经把 vmls.pdf 写在 upstream 里，并且指向第 27 页。

选区的前一块已经把定义说完整了：如果 a_1，…，a_m 是 n 维向量，β_1，…，β_m 是数，那么 β_1 a_1 + ··· + β_m a_m 就是这些向量的线性组合，那些数叫做系数。选区接着延伸到下一个小标题 “Linear combination of unit vectors”，并停在换行处，所以笔记的最后几个词是 “as a linea”。我不会把这截断的一行当成整句。

我用自己的两个 2 维向量核对了这个定义。如果 a_1 = (1, 0)，a_2 = (0, 2)，那么 0.5 a_1 + 3 a_2 = (0.5, 0) + (0, 6) = (0.5, 6)。

书接着把任意 n 维向量写成标准单位向量的线性组合：b = b_1 e_1 + ··· + b_n e_n。系数就是 b 的各个分量，e_i 则是我在 01-notation.md 里已经有的第 i 个单位向量。我用 b = (2, −1, 0) 核对：2 e_1 + (−1) e_2 + 0 e_3 是 (2, 0, 0) + (0, −1, 0) + (0, 0, 0) = (2, −1, 0)。我还跟着书里同一页的那个 3 维例子算了一遍，结果也符合这个模式。

几种专门名称，以及同一种求和还可以表示什么

其余部分我写进了 06-linear-combination.md，upstream 里有教材、新的 Grow branch 笔记，以及数乘笔记。

有些系数的取法有专门的名称。如果每个系数都是 1，这个线性组合就是求和。如果每个系数都是 1/m，它就是平均，也可以写成 (1/m)(a_1 + ··· + a_m)。如果这些系数加起来等于 1，它叫做仿射组合。如果这些系数还都非负，它就叫做凸组合、混合物，或加权平均。书里还提到，这些系数有时会写成加起来等于 100% 的百分比。

我用同一对向量核对了平均：(1/2)(a_1 + a_2) = (1/2)(1, 2) = (0.5, 1)。再用一个不是平均的仿射组合：(1 − 0.25) a_1 + 0.25 a_2 = 0.75(1, 0) + 0.25(0, 2) = (0.75, 0.5)，而 0.75 + 0.25 = 1。

印刷第 18 页开始讲含义。如果这些向量表示位移，线性组合就是按比例缩放后再相加。如果它们是同一时段录下的音频轨道，线性组合就是混音，每条轨道的响度跟 |β_i| 走。

现金流的复制用的是同一套算术。书里给出两笔期限为一期、利率 10% 的 1 美元贷款，c_1 = (1, −1.1, 0)，c_2 = (0, 1, −1.1)。我自己算了 d = c_1 + 1.1 c_2：1.1 c_2 = (0, 1.1, −1.21)，两者相加得到 (1, 0, −1.21)。这就是第 1 期借入 1 美元、利息按复利计算的两期贷款。中间那个 0 正是关键：第一笔贷款的偿还，恰好是第二笔贷款的开始。

最后一个例子是直线和线段。对于两个不同的 n 维向量 a 和 b，仿射组合 c = (1 − θ)a + θb 落在经过 a 和 b 的直线上。当 0 ≤ θ ≤ 1 时，c 是凸组合，落在它们之间的线段上。书里说，即使这些向量是 100 维的，这个说法仍然成立，并不只适用于平面上的坐标。我用自己的一对向量核对，a = (0, 0)，b = (4, 2)：θ = 0 得到 a，θ = 1 得到 b，θ = 1/2 得到 (2, 1)，θ = 1.2 得到 (4.8, 2.4)，已经越过 b，但仍在同一条直线上。说明这些 θ 取值的图 1.12 在下一页的开头，而那里已经是 §1.4 了。我看了这张图，没有开始学内积。

习题 1.7

尝试写在 06-exercises.md 里。题目仍留在书里，印刷第 26 页。布尔 n 维向量 x 的分量只取 0 或 1。同一种信息还有另一种编码，分量取 −1 和 +1，记作 y。我需要用向量记号写出 y 和 x 的相互表达。

如果 x_i = 0，那么 y_i 应该是 −1。如果 x_i = 1，那么 y_i 应该是 +1。对单个数字来说，这就是 y_i = 2x_i − 1。对每个分量都这样做，就是

y = 2x − 1

这里的 1 是和 x 同样长度的全 1 向量。这也可以看成 x 和 1 的线性组合，系数是 2 和 −1。反过来，x = (1/2)(y + 1)。

我先用自己的短列表核对，x = (1, 0, 1)。于是 2x − 1 = (1, −1, 1)，而 (1/2)((1, −1, 1) + (1, 1, 1)) = (1, 0, 1)，又回到了 x。我还把同样的公式用到题目里给出的那个 4 维向量上，结果和那里写出的另一种编码一致。

我是对照 vmls-note-5.md 里的数乘定义、01-notation.md 里的全 1 向量，以及 vmls-note-6.md 里的线性组合来核对的，没有去查题解。这次没有请智能体批改。

下一节还要接着做的事

vmls-note-6.md、06-linear-combination.md 和 06-exercises.md 现在和数乘定义、习题 1.2 补做的部分放在同一个文件夹里。说 §1.3 读完，只是指这一节的正文我读过了，并且做了一道需要它的代表练习。内积还在后面。

这是“用 BaseHalf 学应用线性代数”的第 6 篇，精读《Introduction to Applied Linear Algebra》。上一篇：用一个数乘向量，就是把每个分量都乘上这个数。