用一个数乘向量，就是把每个分量都乘上这个数

加法的笔记还在这个文件夹里。04-exercises.md 里，习题 1.2 还有三问没判断，因为它们都用到了当时还没读到的数乘。我在 BaseHalf 0.7.0 里打开同一个桌面文件夹，从印刷第 15 页接着往下读。

这是精读 Boyd 与 Vandenberghe 的《Introduction to Applied Linear Algebra》的第 5 篇。我没有新开画布。向量数乘是作用在同一类有序列表上的运算，并不是一种新的对象。

从定义长出来的笔记

在 Card Detail 里，我翻到阅读器第 25 页，也就是印刷第 15 页，选中 §1.3 开头的定义，然后选择 Grow branch。这是在阅读器里发起的，不是从封面发起的。新文件是 vmls-note-5.md。它已经把 vmls.pdf 写在 upstream 里，并且指向第 25 页。

选中的句子把我需要的意思说完整了：用一个数乘向量，就是把每个分量都乘上这个数，结果仍是同样长度的向量。选区停在换行处，所以笔记的最后几个词是 “Scalar multiplication is denoted by”，而不是那句话在书里的后半句。我不会把这截断的一行当成整句。

书里也可以把数写在右边，例如 a(3)，意思相同。类似的简写还有 a/2，表示 (1/2)a。(-1)a 就写成 -a。还有 0a = 0，左边的 0 是数字零，右边的 0 是和 a 同样长度的零向量，这和我在 01-notation.md 里已经写过的符号兼用是同一件事。

我实际核对过的几条性质

我在同一个阅读器里读完印刷第 16 页，然后把理解写进 05-scalar.md，upstream 里有教材、新的 Grow branch 笔记，以及更早的记法和加法笔记。

书里说这些法则从定义出发并不难看出。我用自己的一个 3 维向量来核对，a = (1, 4, −2)。

3a 是 (3, 12, −6)，a(3) 也是同一列，所以左右两边都可以写。(2·3)a 和 2(3a) 都是 (6, 24, −12)，因此 βγa 不会产生歧义。(2 + 3)a 是 5a = (5, 20, −10)，而 2a + 3a 是 (2, 8, −4) + (3, 12, −6)，结果相同。左边的加号是在加两个数，右边的加号是在加两个向量，而且数乘的结合优先级比这个加法更高。

还有一条对向量加法的分配律：β(a + b) = βa + βb，这里两个加号都是向量加法。取 b = (0, 1, 1)，则 a + b 是 (1, 5, −1)，2(a + b) 是 (2, 10, −2)。而 2a + 2b 是 (2, 8, −4) + (0, 2, 2)，同样是 (2, 10, −2)。

我还没有把它当成向量空间。现在有了加法和数乘，还没有读到线性组合。

印刷第 16 页上的第一批例子是位移、物料清单和音频信号。如果 a 表示位移，并且 β > 0，那么 βa 仍沿同一个方向，长度按 β 缩放。如果 β < 0，方向反过来，长度按 |β| 缩放。一份生产一个单位产品所需的物料清单 q，再用非负的 α 去乘，就是生产 α 个单位所需的物料。如果 a 是一段音频，βa 听起来还是同一段，只是响度按 |β| 变化；β = 1/2 和 β = −1/2 都会更轻。这一轮我停在下一页的插图之前，也停在线性组合之前，那要从印刷第 17 页才开始。

习题 1.2 里上次留下的部分

尝试写在 05-exercises.md 里。我只用了加法里的长度规则、§1.1 的拼接，以及刚读到的数乘。题目仍留在书里，印刷第 25 页。a 和 b 是 10 维向量，c 是 20 维向量。

(c) 里，2a + c 不成立。2a 是 10 维向量，和 a 一样长。c 是 20 维向量。长度不同，不能相加。

(f) 里，[a b] + 4c 也不正确。4c 是 20 维向量，所以左边也必须是 20 维才能相加。但 [a b] 这种把 a 和 b 并排放进方括号的写法，并不是这本书里的向量记法。拼接是用圆括号写的，例如 (a, b)。在习题 1.1(b) 里，我已经把横向方括号行当成这本书不采用的向量写法。

(g) 里，把 a 堆在 b 上面（写成一列）再加 4c，是成立的。这个拼接就是 (a, b)，是 20 维向量。4c 也是 20 维，可以相加，结果仍是 20 维向量。

我是对照 vmls-note-5.md 里的定义、vmls-note-3.md 里的长度规则、01-notation.md 里的拼接，以及 04-exercises.md 里上次留下的记录来核对的，没有去查题解。这次没有请智能体批改。

文件夹里仍是同一份工作

vmls-note-5.md、05-scalar.md 和 05-exercises.md 现在和加法定义、习题 1.6 放在同一个文件夹里。下次打开这个窗口，这些笔记还在，可以重读。接下来是线性组合，以及它的几种有专门名称的情形。

这是“用 BaseHalf 学应用线性代数”的第 5 篇，精读《Introduction to Applied Linear Algebra》。上一篇：同一种逐项相加，可以是一笔交易，也可以是一个出清的市场。下一篇：线性组合，就是把若干个按比例缩放的向量加在一起。