两个向量相加，就是把对应位置上的数加在一起

前两篇的笔记还在这个文件夹里。vmls-note.md 仍然指向印刷第 3 页的开篇定义，01-notation.md 里还有从 1 开始的下标、拼接规则，以及会过载的 0。我用 BaseHalf 0.6.1 打开同一个桌面文件夹，从印刷第 11 页接着读。

这是精读 Boyd 与 Vandenberghe 的《Introduction to Applied Linear Algebra》的第 3 篇。我没有另起一块画布，也没有把加法当成一种新的对象。它是作用在同一类有序列表上的运算。

从加法定义长出的笔记

我在 Card Detail 里翻到阅读器第 21 页，也就是印刷第 11 页，选中 §1.2 的开篇定义，再选择 Grow branch。这个动作仍然是在阅读器里、选中一段文字之后发生的，不是从画布封面发起的。新文件是 vmls-note-3.md。它的 upstream 里已经写上了 vmls.pdf，并指回第 21 页。

这次选中的句子是完整的：两个同样长度的向量，可以把对应位置上的分量加起来，得到一个同样长度的向量，叫做它们的和。我要记住的限制就是长度。3 维向量不能和 4 维向量相加。加号对数字和向量是同一个符号，到底是哪一种，取决于两边写的是什么。这和我已经在 0 上见过的过载是同一类事情。

减法，以及我实际核对过的四条性质

我在同一个阅读器里读完印刷第 12 页，把理解写进 03-addition.md，并把书、这条新的 Grow branch 笔记，以及更早的记法笔记列为 upstream。

减法就是把加号换成减号，结果叫做差。我用前面笔记里从 1 开始的下标，把书上的第一个加法重算了一遍：

(0, 7, 3) + (1, 2, 0) = (1, 9, 3)

减法是

(1, 9) − (1, 1) = (0, 8)

书上列出了同样长度的向量的四条性质，并示范了怎样用定义、再加上普通数字的交换律，推出加法交换律。我跟着推了一遍，并用同一个 3 维例子核对其余几条。

若 a = (0, 7, 3)，b = (1, 2, 0)，则 b + a 同样是 (1, 9, 3)。再加上 c = (1, 0, 1)，(a + b) + c 和 a + (b + c) 都是 (2, 9, 4)，所以 a + b + c 的写法没有歧义。加上零向量不会改变 a，这里的 0 必须是和 a 同样长度的零向量，这正是 01-notation.md 里已经记下的过载。最后，a − a 就是这个零向量：(0, 7, 3) − (0, 7, 3) = (0, 0, 0)。

我还没有把这些内容当成线性空间。我现在有加法，还没有数乘。

印刷第 12 页上的第一组例子是位移。如果 a 和 b 是位移，a + b 就是先做 a 再做 b 的净位移，而 b + a 会到达同一个地方，这正是我刚核对过的交换律的几何说法。如果 p 是位置、a 是位移，p + a 就是新的位置。如果 p 和 q 是两个位置，p − q 是从 q 到 p 的位移。词频和物料清单用的还是同一种逐项相加，只是有了具体含义。印刷第 13、14 页上更后面的例子，我留到下一篇。

习题 1.6

解答写在 03-exercises.md 里。我只用了 §1.1 前半的切片，以及刚刚读到的减法。题目本身留在书中，在印刷第 26 页。

x 是 n 维向量。它对应的差分向量 d 是 n − 1 维的，分量是相邻两项的变化，笔记里写成 d = (x_2 − x_1, …, x_n − x_{n-1})。切片 x_{2:n} 是 (x_2, …, x_n)，x_{1:n-1} 是 (x_1, …, x_{n-1})。它们长度都是 n − 1，可以相减，而这个差正好就是 d：

d = x_{2:n} − x_{1:n-1}

我用自己写的一个短列表核对：x = (3, 1, 4, 2)，那么 d 应该是 (−2, 3, −2)。切片是 (1, 4, 2) 和 (3, 1, 4)，(1, 4, 2) − (3, 1, 4) = (−2, 3, −2)。如果 x 是时间序列，d 就是相邻两期的变化。我没有用到线性组合或内积，这两项我都还没读到。

我是对照减法的定义和 01-notation.md 里的切片规则来核对的，没有去查题解。这次没有请智能体批改。

文件夹里继续留下的东西

vmls-note-3.md、03-addition.md 和 03-exercises.md 现在和 §1.1 的定义、例子放在同一个文件夹里。下次打开这个窗口，这些笔记都还在。和的更多含义，以及加号不能表示什么，是下一篇要读的内容。

这是“用 BaseHalf 学应用线性代数”的第 3 篇，精读《Introduction to Applied Linear Algebra》。上一篇：同一类列表，可以是颜色、持仓，也可以是一周的用电。下一篇：同一种逐项相加，可以是一笔交易，也可以是一个出清的市场。